Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel ra đời năm 1931, được công bố trên Nguyệt san Toán học của Đức với tiêu đề: Về những mệnh đề không quyết định được trong Nguyên lý Toán học và những hệ liên quan

Được gọi là định lý nhưng thực ra Định lý Bất toàn bao gồm hai định lý con:

Định lý 1: Nếu một hệ logic chứa đựng số học đủ mạnh dựa trên một hệ tiên đề nhất quán (phi mâu thuẫn) thì trong hệ logic ấy tồn tại những mệnh đề không thể quyết định được (undecidable statements), tức là không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ.

Định lý 2: Dựa trên hệ tiên đề của mình, một hệ logic chứa đựng số học đủ mạnh không thể tự chứng minh tính nhất quán của nó.

Toán học là một hệ logic tiêu biểu của “hệ logic chứa đựng số học đủ mạnh”. Vì thế hai định lý trên có thể phát biểu dưới dạng dễ hiểu hơn như sau:

1/ Nếu hệ tiên đề của toán học là nhất quán thì toán học không đầy đủ – trong toán học luôn luôn tồn tại những mệnh đề không quyết định được (không thể chứng minh hoặc bác bỏ).

2/ Dựa trên hệ tiên đề của mình, toán học không thể chứng minh tính nhất quán của nó. Nói cách khác, toán học không thể tự chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó.

Tóm lại, Định lý Bất toàn chỉ ra hai “chỗ yếu” của toán học:

Định lý 1 cho thấy toán học không đầy đủ – không có một hệ tiên đề nào là đủ để cho phép chứng minh hoặc phủ nhận bất kỳ một mệnh đề toán học nào.

Định lý 2 cho thấy toán học không thể tự chứng minh đúng. Không có cách nào để chứng minh hệ tiên đề của mình là hoàn hảo.

Trích từ sách “ Định lý Godel: Nền tảng của khoa học nhận thức hiện đại” – Phạm Việt Hưng